Sujets scientifiques du concours 2003 des ENS
En attendant qu'ils soient disponibles de manière plus formelle sur les sites des écoles, je tiens ici à la disposition des personnes intéressées les sujets numérisés de certaines épreuves scientifiques du concours d'entrée aux Écoles normales supérieures, dans le but de satisfaire, en particulier, la curiosité exprimée par certains contributeurs du forum de discussions fr.sci.maths.
Si quelqu'un devait en prendre ombrage, pour quelque raison que ce soit, je l'invite à me contacter par courriel. Bien sûr, je ne dédaigne pas les réactions plus positives...
Voici les sujets en question, au format PDF (lisible avec Adobe Acrobat version 4 ou ultérieur) :
- Maths Ulm/Lyon (143 Ko). L'épreuve est particulièrement intéressante, cette année. Elle porte sur le théorème de Mordell-Weil pour une certaine classe de courbes elliptiques, et utilise un éventail de méthodes assez intéressant. La loi de groupe sur la courbe est introduite en termes de l'intégrale elliptique associée, à la Abel-Jacobi. La démonstration de Mordell-Weil faible dans la partie 4A m'a l'air particulièrement originale et élégante (je serais curieux de savoir si elle s'étend à d'autres courbes que celles dont il est question dans l'énoncé). Bon, évidemment, il y a un bon paquet de calculs très désagréables dans le tas, mais la longueur du sujet permettait de faire des choix (je crois savoir que certains candidats ont presque tout fait, mais ils ne doivent pas être nombreux, quand même).
- Maths Ulm/Cachan (85 Ko). Sur l'entropie en mathématiques. Le thème peut paraître alléchant a priori, mais je dois reconnaître que la proportion que j'ai pratiquée ne m'a pas parue particulièrement exaltante. Beaucoup de choses plutôt classiques et d'un intérêt limité. Peut-être est-ce intéressant vers la fin, mais je n'ai pas le courage d'aller vérifier.
- Maths Lyon/Cachan (63 Ko). L'étude des endomorphismes de M_n(C) laissant stables certains sous-ensembles particuliers. Pourquoi pas. Ça manque sans doute d'originalité pour un sujet d'Écoles normales.
- Maths-Info (156 Ko), épreuve du concours I des ENS. Si j'ai bien compris les remarques de Michel Talon sur fr.sci.maths, il est question de certaines constructions de nature combinatoire (les tableaux d'Young) associées aux représentations irréductibles du groupe symétrique (et qui peuvent s'étendre aux groupes de Lie).
- Informatique Ulm/Lyon/Cachan (131 Ko). Recherche de motifs. De l'algorithmique sûrement assez classique, mais comme je suis assez ignorant en la matière, j'ai trouvé l'algorithme de la partie 2 assez futé. L'ensemble (dans les limites de ce que j'en ai vu) n'est pas désagrable. À noter tout de même, comme ça a été signalé sur fr.sci.maths, une grosse erreur d'énoncé à la question II.3.c. (en fait, au moins trois erreurs sur la définition de j) mais ce n'est pas bien difficile à corriger.
- Physique Ulm (134 Ko). Je ne hasarderai aucun commentaire, faute de compétence et par manque de connaissance du sujet. Pour autant, je me réjouis que les rédacteurs ne se soient pas sentis obligés de proposer cette année un sujet sur le fonctionnement de la machine à laver ou la puissance des moteurs de mobylettes. D'un autre côté, je souhaite aux générations de candidats à venir de pouvoir rendre leurs copies d'ENS sans avoir à y inscrire les mots « formules de Binet ».
- Maths Ulm/Lyon/Cachan de PC (113 Ko). Document aimablement fourni par Manu Tenenbaum. Le sujet porte visiblement sur le calcul des variations, et résout en particulier dans certains cas les équations d'Euler-Lagrange. Étrangement, il ne mentionne nulle part qu'il est question d'énergie. C'est surprenant quand, en filière MP, on ne rechigne pas à parler d'entropie.
C'est tout pour le moment. J'ai retiré les sujets de l'X qui figuraient ici, car on m'a signalé qu'ils étaient déjà tous disponibles sur le site de l'école.
Liens vers les sujets d'autres années ou d'autres concours
Plus généralement, voici les liens direct vers les sujets de différents concours, et vers les rapports des années précédentes :
Quelques sujets mémorables de la rue d'Ulm
Au cours de sa préparation au concours, le taupin est amené à rédiger un nombre considérable de devoirs, qui sont souvent autant de pensums. Heureusement, il arrive parfois qu'un sujet vraiment intéressant et profond vienne égayer la longue suite des ponts-aux-ânes. Je crois vraiment qu'Ulm/Lyon 2003 sera de ceux-là.
Comme annoncé sur fr.sci.maths, je vous livre ici un petit nombre d'autres sujets de ce genre, qui m'ont été un réconfort mathématique appréciable, entre telle étude des sections planes de paraboloïde hyperbolique et je ne sais quelle démonstration de la formule sommatoire d'Euler-MacLaurin.
- Ulm/Lyon 98 (99 Ko). Une épreuve d'anthologie qui commençait par étudier des équations différentielles avec le théorème du point fixe de Schauder, puis Schauder à partir de Brouwer, puis Brouwer à partir du théorème de la boule chevelue, puis la boule chevelue. Beaucoup de belles mathématiques, un émerveillement pour taupin, et sans doute aussi une mine d'or pour agrégatif. Voici ce que j'en ai fait (184 Ko).
- Ulm/Lyon 93 (80 Ko). [J'espère que le document est raisonnablement lisible, mais c'est une numérisation à faible résolution d'une photocopie d'une photocopie, ce qui, je m'en excuse, se fait un peut sentir]. Une démonstration élémentaire du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet (sans doute inspirée de Selberg). Ça utilise donc beaucoup d'analyse assez « bourrine » (ardue sans pour autant être subtile), ce qui donne à l'épreuve un côté laborieux. Pour autant, il y a une bonne dose de jolies maths, et on parvient au bout des calculs avec la satisfaction d'être arrivé à un résultat qui en valait la peine (et aussi peut-être d'avoir marché sur les traces d'un médaillé Fields). On démontre également, à la fin, l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques. Ce que j'en ai fait (133 Ko).
- Ulm/Lyon 2001 (159 Ko, lien externe). La réciprocité quadratique. Le sujet présente plusieurs démonstrations à base de sommes de Gauss. L'ensemble est relativement classique, finalement, mais tout de même très sympathique, et apres tout, la réciprocité quadratique doit être un des résultats les plus souvent redémontrés en maths, donc il est difficile d'innover. Pour autant, il tombe assez rarement au concours, et dans cette épreuve, certains passages sont vraiment jolis (voir la somme de Gauss comme trace de la transformée de Fourier discrète est surprenant, par exemple). On peut signaler que le tout dernier résultat du problème ne nécessite pas, en fait, le théorème de Dirichlet. Voici ce que j'en ai fait (162 Ko).
En espérant qu'il se trouvera quelqu'un pour partager mon enthousiasme.
Dernière mise à jour : 1er juin 2003.